Soovisin kolm aastat tagasi oma magistritööga alustades leida teemat, millest oleks praktilist kasu nii mulle kui ka teistele. Koos juhendajate Tiit Lepmanni ja Eno Tõnissoniga otsustasime, et minu töö eesmärgiks saab dünaamiliste visuaalsete näitevahendite loomine mõne geomeetria teema õpetamiseks. Järgmise sammuna hakkasin uurima, millise tarkvara põhjal võiks neid näitevahendeid teha. TÜ doktorandi Maksim Ivanovi vihje abil jõudsin koolitarkvaraprogrammini GeoGebra, kirjutab Tartu Ülikooli õppejõud Jane Albre.

Vaimustus GeoGebra programmist pole vähenenud
Programmi võimaluste tundmaõppimisel sattusin sellest vaimustusse ja see vaimustus pole minus siiani kahanenud. Püüan jõudumööda nüüd Eesti matemaatikaõpetajaid omalt poolt ja Tiigrihüppe toel GeoGebra-pisikuga nakatada. Samas on see andnud mulle võimaluse kohata palju toredaid, entusiastlikke, oma ainet parimal võimalikul moel anda tahtvaid matemaatikaõpetajad.

Magistritööst kasvas välja 60 GeoGebra-põhist dünaamilist slaidi 12. klassile, mis nüüd Tiigrihüppe abil on kõigile internetis kättesaadavad. Slaidid on mõeldud teemade „integraal, sirged ja tasandid ruumis, tasandigeomeetria kordamine ning pöördkehad ja hulktahukad” visualiseerimiseks. Slaidid on koostatud 12. klassi matemaatikaõpiku (L. Lepmann, T. Lepmann, K. Velsker, 2003) juurde, enamasti viimases olevate olulisemate jooniste või ülesannete dünaamiliseks visualiseerimiseks. Iga slaidi juures asuvas pdf-failis on kommentaarid slaidi kirjelduse ning enamasti ka metoodiliste lühijuhenditega.

Slaidid, mis on loodud teema „sirged ja tasandid ruumis” jaoks, on suures osas õpiku jooniste dünaamilised variandid, st mõningate objektide (nt punkt, liugur) liigutamisel muutub neist sõltuv konstruktsioon.
Enamus tasandigeomeetria slaididest on loodud õpiku ülesannete visualiseerimiseks, kusjuures ülesande number ühtib õpiku ülesande numbriga. Iga slaidi ees antakse ka ülesande tekst, seega õpiku puudumine ei takista slaidi kasutamist. Paljud slaidid on animeeritavad, st ülesande lahendamiseks vajalik joonis või ka lahenduskäik on võimalik esitada sammhaaval.

Pöördkehade ja hulktahukate juures on võimalik visualiseerida silindri ja koonuse tekkimist, silindri, koonuse, kera, risttahuka, kolmnurkse püstprisma, nelinurkse (tüvi)püramiidi ruumala leidmist. Need slaidid on kasutatavad ka põhikoolis.

Enne slaidide tunnis praktiliselt kasutamist soovitan lugeda materjali sissejuhatust, milles on lühidalt juttu nende üldisest kasutamisest. Slaidide kasutamiseks ei pea GeoGebra olema arvutisse installeeritud, küll aga peaks arvutis olema Java, mis on vabalt allalaaditav aadressilt www.java.com.

Vabavara, mis hõlbustab matemaatika õppimist
Vabavaraprogramm GeoGebra on loodud geomeetria, algebra ja matemaatilise analüüsi õpetamise ja õppimise hõlbustamiseks nii põhikoolis kui gümnaasiumis ning on kättesaadav veebilehelt www.geogebra.org.

GeoGebra loojaks on Markus Hohenwarter, kes alustas sellega tegelemist 2001. aastal oma magistritöö raames Salzburgi Ülikoolis Austrias ja jätkas programmi arendamist oma doktoritöö osana. Alates 2006. aastast toimub GeoGebra arendamine USAs Floridas Atlandi Ülikoolis.

Programmiga on võimalik geomeetrilisi konstruktsioone teha punktide, vektorite, lõikude, sirgete, koonuselõigetega, samuti ka funktsioonidega. Konstrueeritud objekte saab hilisema töö käigus ümber defineerida või nende asukohta muuta.
Programmi ekraanipilt koosneb algebra- ja geomeetriavaatest. Algebravaates antakse objektide algebraline esitus, graafikavaade on geomeetrilise konstruktsiooni jaoks. Avaldis algebravaates vastab alati objektile graafikavaates ning vastupidi. Objekte saab muuta nii algebraliselt kui geomeetriliselt ja jälgida muutust vastavalt geomeetria- või algebravaates.

Programmis GeoGebra on võimalik avada igal objektil paremaklahvimenüü (e. kohtmenüü). Sõltuvalt sellest, millisel objektil paremaklahvimenüü avada, on võimalik näiteks:
• näidata või peita antud objekti;
• näidata või peita objekti tähist;
• nimetada või defineerida objekti ümber;
• objekti kustutada;
• lülitada sisse objekti jälg, st objekti liikumisel näidatakse selle trajektoori;
• punktide korral näidata kas rist või polaarkoordinaate;
• võrrandeid näidata ilmutatud-, ilmutamata- või parameetrilisel kujul;
• muuta objekti värvi, joone jämedust ja laadi, täitevärvi;
• anda tingimused, millal objekti näidata;
• tähistada nurk ja/või lõik eriliselt (kasulik võrdsete nurkade ja võrdsete lõikude kujutamisel).

Õpetaja saab ise luua interaktiivseid veebilehti
Programmi GeoGebra üheks oluliseks võimaluseks on see, et õpetaja saab väga lihtsalt ise luua interaktiivseid veebilehti. Nimelt on võimalik algebravaade ja graafikavaate joonis salvestada veebilehena, mille ette ja järele saab lisada teksti.

Programmi GeoGebra praktiliseks kasutamiseks annab hea võimaluse juba kord loodud konstruktsiooni samm-sammuline animeerimine. Animeerimise kiirust saab ise määrata.
Tabelikujulises konstruktsiooni protokollis antakse kõik konstruktsiooni tegemisel kasutatud sammud. Samas on antud ka iga objekti (punkti, kõigu, sirge, hulknurga, teksti, nurga, vektori) kirjeldus. Tabel on interaktiivne, st sinna saab samme lisada või sealt kustutada. Seejärel saab konstruktsiooni uuendatult taasesitada. Konstruktsiooni protokollis on võimalik ka etappide järjekorda muuta. Sellisel viisil võib animatsiooni järjekorda vajadusel lihtsalt muuta ega pea konstruktsiooni otsast peale uuesti tegema.

Mis on GeoGebras veel võimalik:
• GeoGebras leiduvad käsud nurgapoolitaja, lõigu keskristsirge, objektide lõikepunktide leidmiseks, paralleelsete ja ristsirgete joonestamiseks, hulknurkade ja korrapäraste hulknurkade joonestamiseks, erinevad võimalused kaarte, sektorite ja ringjoonte joonestamiseks.
• Võimalik on teha geomeetrilisi teisendusi nagu näiteks objekti peegeldamine sirgest või punktist, objekti lüke vektoriga, homoteetsusteisendus antud teguriga, objekti pööre ümber punkti mingi nurga võrra.
• Funktsioonide sisestamisel saab kasutada eelnevalt defineeritud funktsioone.
• Programmiga loodud konstruktsioone on võimalik salvestada ka pildifailina näiteks .png ja .eps laiendiga või viia lõikepuhvrisse.
• Ekraanipilti on võimalik suurendada ja vähendada, näidata või peita telgesid, näidata või peita ruudustikku, määrata milline on x- ja y-telje ühikute suhe.
• Võimalik on kopeerida ühe objekti visuaalset stiili teistele objektidele.
• Leidub võimalus piltide toomiseks graafikavaatesse.
• Graafikavaatesse on võimalik paigutada nii staatilist kui ka dünaamilist teksti ja LaTeX’i avaldisi.

Maailmas on GeoGebra kogunud suurt populaarsust ja see näib jätkuvat. Kolm aastat tagasi oli GeoGebra tõlgitud umbes 20 erinevasse keelde. Programmi arendajatel tuleb lähikuudel välja uus versioon, GeoGebra 3.2, mis on juba 45 erinevas keeles. Tänu Sirje Pihlapi eestvedamisele ja Tiigrihüppe toetusele käib praegu töö, et uus versioon oleks ka eestikeelne. Mainin etteruttavalt, et uues versioonis lisandub tabelarvutus ja statistika!

Arvan, et koolitarkavaraprogramm GeoGebra võiks olla heaks abiks õpetajale ja aidata äratada õpilastes huvi matemaatika vastu. Õpetajad, kes soovivad programmiga lähemalt tutvuda, saavad osa võtta Tiigrihüppe poolt korraldatavatest õpetajatele tasuta koolitustest.

Soovin teile jätkuvat rõõmsameelsust ja teotahet õpilastele matemaatikapisiku edastamisel!

Jane Albre
Koolielu
Lisatud 28. novembril 2008